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# CMU 16-745: Optimal Control # Continuous-Time Dynamics Most general/generic for smooth systems: x˙=f(x,u)\dot{x} = f(x, u) x˙=f(x,u) x∈Rnx \in \mathbb{R}^nx∈Rn is the state u∈Rmu \in \mathbb{R}^mu∈Rm is the input fff represents the dynamics For a mechanical system: x=

# Discrete-Time Dynamics # "Explicit" Form xk+1=fd(xk,uk)x_{k+1} = f_d(x_k, u_k) xk+1​=fd​(xk​,uk​) fdf_dfd​ is the "discrete" dynamics. # Simplest Discretization: Forward Euler Integration xk+1=xk+hf(xk,uk)⏟fdx_{k+1} = \underbrace{x_k + h f(x_k, u_k)}_

# Linear Dynamical Systems (LDS) Continuous-time ODE: x˙=f(x,u)\dot{x} = f(x, u)x˙=f(x,u) Discrete-time difference eq: xk+1=f(xk,uk)x_{k+1} = f(x_k, u_k)xk+1​=f(xk​,uk​) # Stability of x˙=Ax\dot{x} = Axx˙=Ax A linear system x˙=Ax\dot{x} = Axx˙

# Optimal Control # Introduction [Diagram: Reference -> (+) -> (Measured error) -> [Controller] -> (System Input) -> [System] -> System output] ^ | |---------- [Sensor] <--- (Measured output) -| # Calculus of Variations min⁡x(t)J(x(t))&#

# Reinforcement Learning Notes: State and Action Values # 1. State Value / State Value Function vπ(s)=E[Gt∣St=s]v_{\pi}(s) = \mathbb{E}[G_t | S_t = s] vπ​(s)=E[Gt​∣St​=s] The state value function vπ(s)v_{\pi}(s)vπ​(s) represents the expected discounted return when

# 引言 此系列是本人阅读A. E. McGrath所著基督教神学导论后写的读书笔记。大体上摘自此书的标题和副标题，及加粗内容。此笔记目的是作为一个时常提醒本人认清自己以及认识上帝的一个纪念。当然后续关于本人基督徒的历程、和教会之间的关系以及看法，后续专门开档，这里先挖一个坑。以下是笔记内容。 # 第二部 来源于方法 # 第五章 准备启程：起步的基础 # 神学的定义：系统研究基督教信仰的思想 来源：《圣经》、传统、理性、经验 发展：历史神学 关系：基督教思想的相互关系，e.g. 道成肉身与三位一体；基督的位格与基督的工作 应用：怎样祷告、崇拜、处理彼此的关系以及活在世界上 # 神学的结构

# 引言 现在想来，小引擎这个项目也已经断断续续写了一年多了。这个项目起初是本人学习Vulkan时，重构vulkan-tutorial上面的教程代码的，后来有了一个想法，加D3D12后端和仿照UE写一套渲染相关的实现。同时也顺便补一下我拿了B-的Advanced Graphics。其实此时AI已经发展的相当厉害了，去年的这个时候我还以为AI不会看文档，不会解决复杂问题，但是现在看来，小引擎内部的一些实现（包括PBR和Importance Sampling）我还必须得请教AI。翻阅PBRT的痛苦谁看谁知道。但后续本人可能会结合自己读过的部分写一些笔记，但这都是后话了。这个博客就让我聊聊小引擎里我

# Chapter 1. 引擎编译和工程创建 # 1.1 从源代码编译UE引擎 此部分参考Epic官方文档。 https://dev.epicgames.com/documentation/en-us/unreal-engine/downloading-unreal-engine-source-code https://dev.epicgames.com/documentation/en-us/unreal-engine/building-unreal-engine-from

# Taichi implementation for Fluid Simulation # Algorithm Overview Initialize Grid with some Fluid for ( i from 1 to n ) Let t=0.0t = 0.0t=0.0 While t<tframet<t_{frame}t<tframe​ Calculate Δt\Delta tΔt Advect Fluid Pressure Projection (Pressure Solve) Advect Fr

# Fluid Simulation For Computer Graphics: A Tutorial in Grid Based and Particle Based Methods Colin Braley & Adrian Sandu - Virginia Tech # Main contribution This paper provide a introductory tutorial for people learning fluid simulation at a undergraduate level. It gives out a Navier-Stokes equ